试题

题目：
如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn=
3
n
n+1
3
n
n+1
（用含n的式子表示）．
青果学院
答案
3
n
n+1

青果学院解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，作出直线B1B2．
∴S△AB1C1=
1
2
×2×
3
=
3
，
∵∠B1C1B2=60°，
∴AB1∥B2C1，
∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，
∴△B1B2D1∽△C1AD1，
∴B1D1：D1C1=1：1，
∴S1=
3
2
，
同理：B2B3：AC2=1：2，
∴B2D2：D2C2=1：2，
∴S2=
2
3
3
，
同理：BnBn+1：ACn=1：n，
∴BnDn：DnCn=1：n，
∴Sn=
3
n
n+1
．
故答案为：
3
n
n+1
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
压轴题；规律型．
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