试题

已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH．

解：（1）∵GA∥BC，
∴∠GAD=∠B，∠AGD=∠BFD，
∴△ADG∽△BDF，
∴

AG

BF

=

AD

DB

，
∵AB=6，AD=2，
∴DB=4，
∵BF=t，
∴

AG

t

=

2

4

，
∴AG=

1

2

t，
过点E作EK⊥AG于点K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，EK=

3

，
∴S=

1

2

AG·EK=

1

2

×

1

2

t×

3

=

3

4

t；

（2）连接DE，
∵AD=AE，
∵∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
若AB⊥HE，则AO=OD，∠AEO=∠OED，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠GED，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE=2，
∴

1

2

t=2，
解得：t=4，
∴当t=4时，AB⊥GH．
解：（1）∵GA∥BC，
∴∠GAD=∠B，∠AGD=∠BFD，
∴△ADG∽△BDF，
∴

AG

BF

=

AD

DB

，
∵AB=6，AD=2，
∴DB=4，
∵BF=t，
∴

AG

t

=

2

4

，
∴AG=

1

2

t，
过点E作EK⊥AG于点K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，EK=

3

，
∴S=

1

2

AG·EK=

1

2

×

1

2

t×

3

=

3

4

t；

（2）连接DE，
∵AD=AE，
∵∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
若AB⊥HE，则AO=OD，∠AEO=∠OED，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠GED，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE=2，
∴

1

2

t=2，
解得：t=4，
∴当t=4时，AB⊥GH．