试题

（本题满分12分，任选一题作答．）
Ⅰ、如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D以2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）当0＜t＜

5

2

时，证明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．
Ⅱ、（1）如图Ⅱ-1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图Ⅱ-2，已知l₁∥l₂，点E，F在l₁上，点G，H在l₂上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
（3）如图Ⅱ-3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．

Ⅰ、解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

OG

OB

=cos∠BOA=cos60°=

1

2

，
而

OC

OD

=

1

2

，
∴

OG

OB

=

OC

OD

，
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA；

（2）当0＜t＜

5

2

时，
在Rt△OCD中，CD=OD×sin60°=2t×

3

2

=

3

t，
∴S=

1

2

×OC×CD=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2；
当

5

2

≤t＜5时（如图2）
过点D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

3

2

=

3

（5-t），
S=

1

2

×OC×HD=

1

2

×t×

3

（5-t）=

5 3

2

t-

3

2

t²；

（3）当DE∥OC时，△DBE是等边三角形．（如图3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

1

2

AC=

5-t

2

，
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

2

=5，
∴t=1，
因此AE=

5-t

2

=2．
过点E作EM⊥OA于M．
则EM=AE×sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AE×cos60°=2×

1

2

=1，OM=OA-AM=4．
∴点E的坐标为（4，

3

）；
当CD∥OE时（如图4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等边三角形，
∴DE=BD-

1

2

AB=

5

2

，
∴2t-5=

5

2

，
∴t=

15

4

，
因此AE=

5-t

2

=

5

8

，
∴E的纵坐标为

5

8

×

3

2

=

5 3

16

，
横坐标为5-

5

8

×

1

2

=

75

16

，
∴点E的坐标为（

75

16

，

5 3

16

）；
综上所述，点E的坐标为（4，

3

）或（

75

16

，

5 3

16

）；

Ⅱ、（1）解：取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；

（2）证明：∵l₁∥l₂，
∴点E，F到l₂之间的距离都相等，设为h．
∴S_△EGH=

1

2

GH·h，S_△FGH=

1

2

GH·h，
∴S_△EGH=S_△FGH，
∴S_△EGH-S_△GOH=S_△FGH-S_△GOH，
∴△EGO的面积等于△FHO的面积；

（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．
Ⅰ、解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

OG

OB

=cos∠BOA=cos60°=

1

2

，
而

OC

OD

=

1

2

，
∴

OG

OB

=

OC

OD

，
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA；

（2）当0＜t＜

5

2

时，
在Rt△OCD中，CD=OD×sin60°=2t×

3

2

=

3

t，
∴S=

1

2

×OC×CD=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2；
当

5

2

≤t＜5时（如图2）
过点D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

3

2

=

3

（5-t），
S=

1

2

×OC×HD=

1

2

×t×

3

（5-t）=

5 3

2

t-

3

2

t²；

（3）当DE∥OC时，△DBE是等边三角形．（如图3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

1

2

AC=

5-t

2

，
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

2

=5，
∴t=1，
因此AE=

5-t

2

=2．
过点E作EM⊥OA于M．
则EM=AE×sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AE×cos60°=2×

1

2

=1，OM=OA-AM=4．
∴点E的坐标为（4，

3

）；
当CD∥OE时（如图4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等边三角形，
∴DE=BD-

1

2

AB=

5

2

，
∴2t-5=

5

2

，
∴t=

15

4

，
因此AE=

5-t

2

=

5

8

，
∴E的纵坐标为

5

8

×

3

2

=

5 3

16

，
横坐标为5-

5

8

×

1

2

=

75

16

，
∴点E的坐标为（

75

16

，

5 3

16

）；
综上所述，点E的坐标为（4，

3

）或（

75

16

，

5 3

16

）；

Ⅱ、（1）解：取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；

（2）证明：∵l₁∥l₂，
∴点E，F到l₂之间的距离都相等，设为h．
∴S_△EGH=

1

2

GH·h，S_△FGH=

1

2

GH·h，
∴S_△EGH=S_△FGH，
∴S_△EGH-S_△GOH=S_△FGH-S_△GOH，
∴△EGO的面积等于△FHO的面积；

（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．