试题

如图，点A，B，C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．
（1）求证：AE=CD；
（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

（1）证明：∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE即∠ABE=∠DBC，
∴在△ABE和△DBC中

AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
△ABE≌△DBC．
∴AE=CD．

（2）解：△MBN是等边三角形．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM=DN；
又∵AB=DB．
∴△ABM≌△DBN．
BM=BN．
∠ABM=∠DBN．
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等边三角形．
（1）证明：∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE即∠ABE=∠DBC，
∴在△ABE和△DBC中

AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
△ABE≌△DBC．
∴AE=CD．

（2）解：△MBN是等边三角形．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM=DN；
又∵AB=DB．
∴△ABM≌△DBN．
BM=BN．
∠ABM=∠DBN．
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等边三角形．