试题

题目：
青果学院如图，△ABC是边长为12的等边三角形，点P是三角形内的一点，过P分别作边BC，CA，AB的垂线，垂足分别为D，E，F．已知PD：PE：PF=1：2：3，那么四边形BDPF的面积是
11
3
11
3
．
答案
11
3

青果学院解：连接AP，BP，CP，作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，
∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，
∴S△ABP+S△APC+S△BPC=
1
2
（PD×12+PE×12+PF×12）=S△ABC=36
3
，
又∵PD：PE：PF=1：2：3，
∴PD=
3
，PF=3
3
，
∵∠FPH=30°，
∴FH=
3
3
2
，FG=
5
3
2
，GD=HP=
9
2
，
又∵BG=
5
2
，
∴S四边形BDPF=S△BFG+S梯形FGDP=
1
2
FG·BG+
1
2
（FG+PD）·GD=11
3
．
故答案为：11
3
．
考点梳理
等边三角形的性质．
先连接AP，BP，CP，根据S△ABP+S△APC+S△BPC=
1
2
（PD×12+PE×12+PF×12）=S△ABC与PD：PE：PF=1：2：3，即可求得PD与PF的长，然后再作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，求得∠FPH=30°，则可求得FH，FG，GD的长，则可求得四边形BDPF的面积．
本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用等边三角形三线合一的特点求解是解答此题的关键．
探究型．
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