试题

题目：
青果学院如图所示，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD=BE；②AP=BQ；③DE=DP；④PQ∥AE．恒成立的有
①②④
①②④
（把你认为正确的序号都填上）．
答案
①②④

解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，所以①正确；
∴∠CAP=∠CBQ，
∴△CAP≌△CBQ，
∴AP=BQ，所以②正确；
∴CP=CQ，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴PQ∥AE，所以④正确；
∵DE=DC，∠DCP=60°，而∠CPD≠60°，
∴DP≠DC，即DE≠DP，所以③错误．
故答案为①②④．
考点梳理
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
由△ABC和△CDE都是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠BCD=60°，易证得△ACD≌△BCE，得到AD=BE；易证得△CAP≌△CBQ得到AP=BQ；于是有△CPQ为等边三角形，则∠CPQ=60°，得PQ∥AE；又DE=DC，∠DCP=60°，而∠CPD≠60°，得到DP≠DC，即DE≠DP．
本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了等边三角形的性质．
开放型．
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