试题

题目：
青果学院如图，△ABC为正三角形，D，E分别为AC，BC上的点（不在顶点），∠BDE=60°．
（1）求证：△DEC∽△BDA；
（2）若正△ABC的边长为6，并设DC=x，BE=y．试求y与x之间的函数关系式．
答案
（1）证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，
∴∠3+∠1=120°，
∵∠BDE=60°，
∴∠3+∠2=120°，
∴∠1=∠2，
∴△DEC∽△BDA，

（2）解：∵正△ABC的边长为6，
∴AB=BC=AC=6，
∵△DEC∽△BDA，
∴
CD
AB
=
EC
AD
，
∵AD=AC-CD，EC=BC-BE，
设CD=x，BE=y，
∴
x
6
=
6-y
6-x
，
整理得：y=
1
6
x2-x+6．
（1）证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，
∴∠3+∠1=120°，
∵∠BDE=60°，
∴∠3+∠2=120°，
∴∠1=∠2，
∴△DEC∽△BDA，

（2）解：∵正△ABC的边长为6，
∴AB=BC=AC=6，
∵△DEC∽△BDA，
∴
CD
AB
=
EC
AD
，
∵AD=AC-CD，EC=BC-BE，
设CD=x，BE=y，
∴
x
6
=
6-y
6-x
，
整理得：y=
1
6
x2-x+6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）由△ABC为正三角形，推出∠A=∠C，∠3+∠1=120°，再由∠BDE=60°，推出∠3+∠2=120°，求得∠1=∠2，即可推出△DEC∽△BDA；
（2）由相似三角形的性质推出比例式
CD
AB
=
EC
AD
，然后根据图形推出AD=AC-CD，EC=BC-BE，根据正三角形的边长为6，并设DC=x，BE=y，即可推出
x
6
=
6-y
6-x
，通过整理得x与y的函数关系式：y=
1
6
x2-x+6．
本题主要考查等边三角形的性质，平角的定义，相似三角形的判定与性质，关键在于通过对应角相等推出相关的三角形相似，正确地求出关于x与y的比例式，认真地进行计算．
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