试题

题目：
青果学院如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC在∠MON内部，但两顶点A、B分别在边OM、ON上滑动，点D是AB边中点
（1）求CD的长度；
（2）探究：△ABC在滑动的过程中，点C与点O之间的最大距离是多少．
答案
青果学院解：（1）如图，连接CD．
∵△ABC是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=1，
∵点D是AB边中点，
∴BD=
1
2
AB=1，
∴CD=
BC2-BD2
=
22-12
=
3
，即CD=
3
；

（2）连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由（1）得，CD=
3
，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=
1
2
=1，
∴OD+CD=1+
3
，即OC的最大值为1+
3
．
青果学院解：（1）如图，连接CD．
∵△ABC是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=1，
∵点D是AB边中点，
∴BD=
1
2
AB=1，
∴CD=
BC2-BD2
=
22-12
=
3
，即CD=
3
；

（2）连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由（1）得，CD=
3
，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=
1
2
=1，
∴OD+CD=1+
3
，即OC的最大值为1+
3
．
考点梳理
等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
（1）如图连接CD．根据等边三角形“三合一”、三个内角都是60°的性质，结合勾股定理即可求得CD的长度；
（2）根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
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