试题

如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．

（1）如图1，当∠ABC=90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大小；
（3）当∠ABC=60°时，且PA=3，PB=4，PC=5，则△APC的面积是（直接填答案）

解：（1）如图1所示，△P′CB即为所求；


（2）如图2，连结PP′．
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′=90°，
∴BP=BP′，∠APB=∠CP′B，AP=CP′=2，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PB=4

2

，∠BP′P=45°．
在△CPP′中，∵PP′=4

2

，CP′=2，PC=6，
∴PP′²+CP′²=PC²，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P=90°，
∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°；

（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P₁AC，连结PP₁，
∴△APB≌△AP₁C，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，CP₁=BP=4，
∴△PAP₁是等边三角形，
∴PP₁=AP=3，
∵CP=5，CP₁=4，PP₁=3，
∴PP₁²+CP₁²=CP²，
∴△CP₁P是直角三角形，∠CP₁P=90°，
∴S_△APP1=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，S_△PP1C=

1

2

×3×4=6，
∴S_{四边形APCP1}=S_△APP1+S_△PP1C=

9 3

4

+6；
∵△APB≌△AP₁C，
∴S_△ABP+S_△APC=S_{四边形APCP1}=

9 3

4

+6；
如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=

1

2

×4×

4 3

2

+

1

2

×3×4=4

3

+6，
△APC和△BPC的面积的和=

1

2

×5×

5 3

2

+

1

2

×3×4=

25 3

4

+6，
∴△ABC的面积=

1

2

（

9 3

4

+6+4

3

+6+

25

4

3

+6）=

25 3

4

+9，
∴△APC的面积=△ABC的面积-△APB与△BPC的面积的和=（

25 3

4

+9）-（4

3

+6）=

9 3

4

+3．
故答案为

9 3

4

+3．