试题

题目：
已知，在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，CD为高，若
AD
DB
=
AC2
BC2
，则△ABC为（　　）



答案
D
解：∵AC2=AD2+CD2，BC2=BD2+CD2，
代入等式
AD
DB
=
AC2
BC2
然后转换为AD（BD2+CD2）=BD（AD2+CD2）
∴AD×BD2+AD×CD2=BD×AD2+BD×CD2，
AD×BD2+AD×CD2-BD×AD2-BD×CD2=0
∴AD×BD（BD-AD）-CD2（BD-AD）=0
∴（AD×BD-CD2）（BD-AD）=0
（1）当AD×BD-CD2=0时，
AD
CD
=
CD
BD
，由于CD⊥AB，所以∠CAD与∠CBD互余，所以△ABC可为直角三角形；
（2）当BD-AD=0时，AD=BD，并且CD⊥AB，所以△ABC可为等腰三角形．
故选D．
考点梳理
勾股定理；因式分解的应用．
由于CD是边AB的高，根据勾股定理将AC、BC代换，然后转换题中的等式．
本题难点在于用勾股定理将AC和BC替换，然后根据等式化简得出两种情况，根据三角形的性质判断为何种三角形．
压轴题．
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