试题

题目：
青果学院（2013·哈尔滨）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．
（1）求证：AB=AC
（2）若BD=4，BO=2
5
，求AD的长．
答案
解：（1）连接BE，CD，青果学院
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵
∠ADC=∠AEB
∠A=∠A
AE=AD
，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB=AC．

（2）∵BO=2
5
，
∴BC=4
5
，
在Rt△BDC中，CD=
BC2-BD2
=8，
设AD=x，则AC=AB=x+4，
在Rt△ADC中，82+x2=（x+4）2，
解得：x=6．
即AD=6．
解：（1）连接BE，CD，青果学院
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵
∠ADC=∠AEB
∠A=∠A
AE=AD
，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB=AC．

（2）∵BO=2
5
，
∴BC=4
5
，
在Rt△BDC中，CD=
BC2-BD2
=8，
设AD=x，则AC=AB=x+4，
在Rt△ADC中，82+x2=（x+4）2，
解得：x=6．
即AD=6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
（1）连接BE，CD，则可得∠ADC=∠AEB=90°，证明△ABE≌△ACD，即可得出结论；
（2）在Rt△BCD中求出CD，设AD=x，则AC=AB=x+5，在Rt△ADC中利用勾股定理可求出x，即得出AD的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理的知识，利用圆周角定理得出∠BDC=∠BEC=90°是解题的突破口．
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