试题

题目：
青果学院（2006·南充）如图，PAB，PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径，AC∥OD．
（1）求证：CD=
BD
BD
；（先填后证）
（2）若
PA
PC
=
5
6
，试求
AB
AD
的值．
答案
BD

青果学院解：（1）求证：CD=BD，
证明：∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴
CD
=
BD
．
∴CD=BD．

（2）∵AC∥OD，
∴
PA
PC
=
AO
CD
．
∵
PA
PC
=
5
6
，CD=BD，
∴
AO
BD
=
5
6
．
∵AB=2AO，
∴
AB
BD
=
5
3
．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD2+BD2=AB2
∵
AB
BD
=
5
3
，设AB=5k，BD=3k，
∴AD=4k．
∴
AB
AD
=
5
4
．
考点梳理
圆周角定理；平行线的性质．
（1）由于AC∥OD，OA=OD，故∠1=∠2，∠2=∠3．即∠1=∠3，则
CD
=
BD
，CD=BD；
（2）由于AC∥OD，故
PA
PC
=
AO
CD
，由于
PA
PC
=
5
6
，CD=BD，故
AO
BD
=
5
6
，因为AB=2AO，所以
AB
BD
=
5
3
，又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，AD2+BD2=AB2，由
AB
BD
=
5
3
，设AB=5k，BD=3k，AD=4k，代入代数式即可求解．
本题考查的是平行线的性质及圆周角定理，等腰三角形的，比较复杂，是一道具有综合性的题目．
几何综合题；压轴题．
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