试题

题目：
青果学院（2009·宜昌）已知：如图，⊙O的直径AD=2，
BC
=
CD
=
DE
，∠BAE=90度．
（1）求△CAD的面积；
（2）如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？
答案
青果学院解：（1）∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=∠BAE=90°．
∵
BC
=
CD
=
DE
，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE．
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°．
∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=
3
．
∴S△ACD=
1
2
AC×CD=
3
2
．

（2）解法1：连BD，
∵∠ABD=90°，∠BAD=60°，
∴∠BDA=∠BCA=30°，
∴BA=BC．
作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=
1
2
AC=
3
2
，
∴BF=AFtan30°=
1
2
，
∴S△ABC=
1
2
AC×BF=
3
4
，
∴SABCD=
3
3
4
．
∵S⊙O=π，
∴P点落在四边形ABCD区域的概率=
3
3
4
π
=
3
3
4π
．

（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．
∵∠BCA=∠CAD（证明过程见解法1），
∴BC∥AD．
∴四边形ABCD为等腰梯形．
∵CM=ACsin30°=
3
2
，
∴SABCD=
1
2
（BC+AD）CM=
3
3
4
．
∵S⊙O=π，
∴P点落在四边形ABCD区域的概率=
3
3
4
π
=
3
3
4π
．
青果学院解：（1）∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=∠BAE=90°．
∵
BC
=
CD
=
DE
，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE．
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°．
∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=
3
．
∴S△ACD=
1
2
AC×CD=
3
2
．

（2）解法1：连BD，
∵∠ABD=90°，∠BAD=60°，
∴∠BDA=∠BCA=30°，
∴BA=BC．
作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=
1
2
AC=
3
2
，
∴BF=AFtan30°=
1
2
，
∴S△ABC=
1
2
AC×BF=
3
4
，
∴SABCD=
3
3
4
．
∵S⊙O=π，
∴P点落在四边形ABCD区域的概率=
3
3
4
π
=
3
3
4π
．

（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．
∵∠BCA=∠CAD（证明过程见解法1），
∴BC∥AD．
∴四边形ABCD为等腰梯形．
∵CM=ACsin30°=
3
2
，
∴SABCD=
1
2
（BC+AD）CM=
3
3
4
．
∵S⊙O=π，
∴P点落在四边形ABCD区域的概率=
3
3
4
π
=
3
3
4π
．
考点梳理
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；几何概率．
（1）由直径对的圆周角是90°，得∠ACD=∠BAE=90°，由
BC
=
CD
=
DE
得∠BAC=∠CAD=∠DAE，
所以∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°，在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=
3
，即S△ACD=
1
2
AC×CD=
3
2
．
（2）连BD，作BF⊥AC，垂足为F，求得四边形ABCD的面积和圆的面积的比，根据概率的意义求得P点落在四边形ABCD区域的概率．
本题利用了在圆中弧与弦的关系和直角三角形的性质、锐角三角函数的概念及概率的概念求解．用到的知识点为：等弧所对的圆周角相等；概率=相应的面积与总面积之比．
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