试题

（2010·黔东南州）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O分别交AB，AC于点F．点E，AD⊥BC于D，AD交于⊙O于M，交BE于H．
求证：DM²=DH·DA．

证明：连接BM，CM，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BMC=∠BEC=90°，
∵MD⊥BC，
∴∠C+∠CMD=90°，
∵∠CMD+∠BMD=90°，
∴∠MCD=∠BMD，
∠MDC=∠MDB=90°，
∴△BDM∽△MDC，
∴

BD

MD

=

MD

CD

，
∴MD²=BD·CD，
∵∠AHE=∠BHD，∠AEH=∠HDB=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
∠BDH=∠ADC=90°，
∴△BDH∽ADC，
∴

BD

AD

=

DH

DC

，
∴BD·CD=AD·DH，
∴DM²=DH·DA．
证明：连接BM，CM，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BMC=∠BEC=90°，
∵MD⊥BC，
∴∠C+∠CMD=90°，
∵∠CMD+∠BMD=90°，
∴∠MCD=∠BMD，
∠MDC=∠MDB=90°，
∴△BDM∽△MDC，
∴

BD

MD

=

MD

CD

，
∴MD²=BD·CD，
∵∠AHE=∠BHD，∠AEH=∠HDB=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
∠BDH=∠ADC=90°，
∴△BDH∽ADC，
∴

BD

AD

=

DH

DC

，
∴BD·CD=AD·DH，
∴DM²=DH·DA．