试题

题目：
青果学院（2010·苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2
3
，0)、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为
（
3
+1，
3
+1）或（
3
-1，1-
3
）
（
3
+1，
3
+1）或（
3
-1，1-
3
）
．
答案
（
3
+1，
3
+1）或（
3
-1，1-
3
）

解：∵OB=2，OA=2
3
，
∴AB=
OA2+ OB2
=4，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设为a，青果学院
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（
3
，1），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-
3
，PC=2，
∴（a-
3
）2+（a-1）2=22，舍去不合适的根，
可得a=1+
3
，P（1+
3
，1+
3
）；
∵P与P′关于圆心（
3
，1）对称，
∴P′（
3
-1，1-
3
）．
故答案为：（
3
+1，
3
+1）或（
3
-1，1-
3
）
考点梳理
解直角三角形；坐标与图形性质；圆周角定理．
分P点在第一象限，P点在第四象限，由勾股定理即可求得P点的坐标．
此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．
压轴题．
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