试题

题目：
青果学院（2001·四川）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D．若AE=AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE．
求证：（1）AE2=AD·AB；
（2）∠ACF=∠AED．
答案
青果学院证明：（1）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△ABC．
∴
AC
AD
=
AB
AC
．
∵AC=AE，
∴AE2=AD·AB．

（2）∵AE2=AD·AB，∠EAD=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB．
∴∠AED=∠B．
∵∠ACF=∠B，
∴∠ACF=∠AED．
青果学院证明：（1）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△ABC．
∴
AC
AD
=
AB
AC
．
∵AC=AE，
∴AE2=AD·AB．

（2）∵AE2=AD·AB，∠EAD=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB．
∴∠AED=∠B．
∵∠ACF=∠B，
∴∠ACF=∠AED．
考点梳理
圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）根据AE=AC，可以把结论转化为证明AC2=AD·AB，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC即可．根据直径所对的圆周角是直角，即可分析得到两个角对应相等；
（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED=∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明．
本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用．
证明题．
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