试题

题目：
青果学院（2002·泸州）已知：如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）若AC=3cm，BC=6cm，sin∠ABC=
1
3
，求⊙O的面积．
答案
青果学院（1）证明：连接BE，则∠A=∠E，
∵CE是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠CBE=∠CDA=90°．
∴∠ACD=∠BCE．

（2）解：∵sin∠ABC=
CD
BC
=
1
3
，BC=6cm，
∴CD=2cm．
又∵cos∠ACD=
CD
AC
=
2
3
，
∴cos∠BCE=
BC
CE
=
2
3
．
∴CE=
3
2
BC=9cm．
所以S⊙O=π(
9
2
)2=20.25πcm2．
青果学院（1）证明：连接BE，则∠A=∠E，
∵CE是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠CBE=∠CDA=90°．
∴∠ACD=∠BCE．

（2）解：∵sin∠ABC=
CD
BC
=
1
3
，BC=6cm，
∴CD=2cm．
又∵cos∠ACD=
CD
AC
=
2
3
，
∴cos∠BCE=
BC
CE
=
2
3
．
∴CE=
3
2
BC=9cm．
所以S⊙O=π(
9
2
)2=20.25πcm2．
考点梳理
圆周角定理；解直角三角形．
（1）连接BE，因为CE是直径，所以△CEB是直角三角形，∠A与∠E相等，因为是同弧所对的圆周角，所以等角的余角相等；
（2）在Rt△BCD中，先利用∠ABC的正弦求出CD，再根据∠ACD=∠BCE，它们的余弦值也相等求出CE的长，面积即可求出．
本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
利用好角的三角函数是解题的关键．
几何综合题；压轴题．
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