试题

（2003·成都）如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4．
求：（1）cos∠F的值；（2）BE的长．

解：（1）连接OE，
∵DF切半圆于点E，
∴∠OEF=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∵∠OEF=∠DAF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△OEF∽△DAF，
得

EF

AF

=

OE

DA

=

OE

AB

=

1

2

，
即AF=2EF，
又EF²=FB·FA=BF·2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=

1

2

AB+BF=10．
cos∠F=

EF

FO

=

4

5

；

（2）连接AE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠BEF=∠EAF，
∵∠F为公共角，
∴△BEF∽△EAF，
∴

BE

EA

=

EF

AF

=

8

16

=

1

2

，
设BE=k，则AE=2k，
根据AB是直径，故∠AEB=90°，
即AE²+BE²=AB²，
得（2k）²+k²=12²，
解得k=

12

5

5

，
故BE=

12

5

5

．
解：（1）连接OE，
∵DF切半圆于点E，
∴∠OEF=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∵∠OEF=∠DAF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△OEF∽△DAF，
得

EF

AF

=

OE

DA

=

OE

AB

=

1

2

，
即AF=2EF，
又EF²=FB·FA=BF·2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=

1

2

AB+BF=10．
cos∠F=

EF

FO

=

4

5

；

（2）连接AE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠BEF=∠EAF，
∵∠F为公共角，
∴△BEF∽△EAF，
∴

BE

EA

=

EF

AF

=

8

16

=

1

2

，
设BE=k，则AE=2k，
根据AB是直径，故∠AEB=90°，
即AE²+BE²=AB²，
得（2k）²+k²=12²，
解得k=

12

5

5

，
故BE=

12

5

5

．