试题

题目：
青果学院（2003·泸州）已知，如图，△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，过点P作PE∥AB交圆于E．
求证：（1）AC=PE；（2）PB2=PD·PA．
答案
证明：（1）∵PE∥AB，
∴
AE
=
BP

∴∠BAP=∠APE，
∵△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，
∴∠CAP=∠BAP
∴∠CAP=∠APE，
∴
CP
=
AE
，
∴
AC
=
BC
，
∴AC=PE；

（2）∵∠CBP=∠BAP，∠BPA=∠BPA，
∴△PBD∽△PAB，
∴PB2=PD·PA．
证明：（1）∵PE∥AB，
∴
AE
=
BP

∴∠BAP=∠APE，
∵△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，
∴∠CAP=∠BAP
∴∠CAP=∠APE，
∴
CP
=
AE
，
∴
AC
=
BC
，
∴AC=PE；

（2）∵∠CBP=∠BAP，∠BPA=∠BPA，
∴△PBD∽△PAB，
∴PB2=PD·PA．
考点梳理
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．
（1）证明两条弦相等，即可转化为证明其所对的弧相等；
（2）利用上题证得的相等的圆周角证明△PBD∽△PAB后即可得到等积式．
本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用弧与圆周角的转化．
证明题；压轴题．
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