试题

题目：
（2009·丰台区二模）已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在
AB
上运动，过点C青果学院作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到
AB
的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到
AB
什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．
答案
解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，青果学院
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=
12
5
．（2分），
∴PC=
24
5
．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴
AC
PC
=
BC
CQ
，
∴CQ=
4
3
PC=
32
5
；（3分）

（2）当点P运动到
AB
的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是
AB
的中点，青果学院
∴∠PCB=45°，
BE=CE=
2
2
BC=2
2
．（4分）
在Rt△EPB中，tan∠EPB=
BE
PE
=
4
3

∴PE=
3
4
BE=
3
2
2
．
∴PC=PE+CE=
7
2
2
．（5分）．
∴CQ=
4
3
PC=
14
2
3
．（6分）

（3）点P在
AB
上运动时，恒有CQ=
4
3
PC．
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为
20
3
．（7分）
解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，青果学院
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=
12
5
．（2分），
∴PC=
24
5
．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴
AC
PC
=
BC
CQ
，
∴CQ=
4
3
PC=
32
5
；（3分）

（2）当点P运动到
AB
的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是
AB
的中点，青果学院
∴∠PCB=45°，
BE=CE=
2
2
BC=2
2
．（4分）
在Rt△EPB中，tan∠EPB=
BE
PE
=
4
3

∴PE=
3
4
BE=
3
2
2
．
∴PC=PE+CE=
7
2
2
．（5分）．
∴CQ=
4
3
PC=
14
2
3
．（6分）

（3）点P在
AB
上运动时，恒有CQ=
4
3
PC．
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为
20
3
．（7分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
（1）由题意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，则△ACB∽△PCQ，
AC
PC
=
BC
CQ
，求得CQ；
（2）根据已知得BE，再由三角函数得出PE，PC，从而求出CQ；
（3）点P在
AB
上运动时，有CQ=
4
3
PC．当PC最大时，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值．
本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理和解直角三角形，是中考压轴题，难度偏大．
几何综合题．
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