试题

题目：
（2009·泰兴市模拟）已知：平行四边形ABCD，以AB为直径的⊙O交对角线BD于P，交边BC于Q，连接AQ交BD青果学院于E，若BP=PD，
（1）判断平行四边形ABCD是何种特殊平行四边形，并说明理由；
（2）若AE=4，EQ=2，求：四边形AQCD的面积．
答案
解：（1）菱形．
证明：连接AP
∵AB是⊙O的直径
∴∠APB=90°
即AP⊥BP
又∵BP=PD
∴AB=AD
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE是∠ABQ的角平分线
∴
AB
BQ
=
AE
EQ
=2
∵AB是⊙O的直径
∴∠AQB=90°
设BQ=x，则AB=2x
∵AQ=6
∴（2x）2=x2+36
∴x=2
3

∴BC=AD=4
3

∴CQ=2
3

∴四边形AQCD的面积是
1
2
（4
3
+2
3
）×6=18
3
．
解：（1）菱形．
证明：连接AP
∵AB是⊙O的直径
∴∠APB=90°
即AP⊥BP
又∵BP=PD
∴AB=AD
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE是∠ABQ的角平分线
∴
AB
BQ
=
AE
EQ
=2
∵AB是⊙O的直径
∴∠AQB=90°
设BQ=x，则AB=2x
∵AQ=6
∴（2x）2=x2+36
∴x=2
3

∴BC=AD=4
3

∴CQ=2
3

∴四边形AQCD的面积是
1
2
（4
3
+2
3
）×6=18
3
．
考点梳理
圆周角定理；菱形的性质；菱形的判定．
（1）只要证明AP是BD的垂直平分线即可．
（2）已知AE=4，EQ=2，根据三角形的角平分线的性质定理，就可以求出菱形的边长，则问题就很容易解决．
本题主要运用了直径所对的圆周角是直角，以及三角形的角平分线的性质定理．
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