试题

题目：
青果学院（2012·滨湖区模拟）如图，D、E是等边△ABC两边上的点，且AD=CE，连接AE、BD相交于点P．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）以AB为直径作半圆交AE于点Q，试求
PQ
BP
的值．
答案
青果学院（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，
AB=AC
∠BAD=∠ACE
AD=CE
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；

（2）解：连接QB，
∵AB为直径，
∴∠AQB=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
∴∠QPB=∠PAB+∠ABD=∠PAB+∠CAE=∠CAB=60°，
在Rt△PBQ中，∠PQB=90°，∠QPB=60°，
∴
PQ
BP
=cos∠QPB=cos 60°=
1
2
．
青果学院（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，
AB=AC
∠BAD=∠ACE
AD=CE
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；

（2）解：连接QB，
∵AB为直径，
∴∠AQB=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
∴∠QPB=∠PAB+∠ABD=∠PAB+∠CAE=∠CAB=60°，
在Rt△PBQ中，∠PQB=90°，∠QPB=60°，
∴
PQ
BP
=cos∠QPB=cos 60°=
1
2
．
考点梳理
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值．
（1）由于△ABC为等边三角形，那么AB=AC，∠BAD=∠C=60°，而AD=CE，利用SAS可证△ABD≌△CAE；
（2）连接QB，由于AB是直径，那么∠AQB=90°，又△ABD≌△CAE，那么∠CAE=∠ABD，利用角之间的加减，易求∠QPB=60°，进而可求
PQ
BP
．
本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、特殊三角函数值，解题的关键是证明△ABD≌△CAE，求出∠QPB．
证明题．
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