试题

题目：
青果学院（2012·镇赉县模拟）如图，在半圆O中，AB为直径，弦AP与BE相交于F，连接AE、BP，AP平分∠EAB．
（1）求证：△AEF∽△APB；
（2）若AE：AP=2：3，AF=4，求⊙O的半径．
答案
（1）证明：∵在半圆O中，AB为直径，
∴∠AEB=∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
又∵AP平分∠EAB，
∴∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB；

（2）∵△AEF∽△APB，
∴
AE
AP
=
AF
AB
．
又∵AE：AP=2：3，AF=4，
∴
2
3
=
4
AB
，
∴AB=6，
∴⊙O的半径是
1
2
AB=3．
（1）证明：∵在半圆O中，AB为直径，
∴∠AEB=∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
又∵AP平分∠EAB，
∴∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB；

（2）∵△AEF∽△APB，
∴
AE
AP
=
AF
AB
．
又∵AE：AP=2：3，AF=4，
∴
2
3
=
4
AB
，
∴AB=6，
∴⊙O的半径是
1
2
AB=3．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
（1）利用“两个三角形的两个角对应相等”证得△AEF∽△APB；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式
AE
AP
=
AF
AB
，然后将已知条件代入该比例式即可求得⊙O的直径AB=6，则⊙O的半径是3．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
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