试题

题目：
青果学院如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2
3
．求AD的长．
答案
青果学院解：连接OD；
∵D是
AC
的中点，
∴OD垂直平分AC；
∴∠AOD=90°-∠CAB=60°；
又∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形；
∴OA=AD；
Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2
3
；
∴AB=
AC
cos30°
=4，OA=2；
即：AD=OA=2．
故AD的长为2．
青果学院解：连接OD；
∵D是
AC
的中点，
∴OD垂直平分AC；
∴∠AOD=90°-∠CAB=60°；
又∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形；
∴OA=AD；
Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2
3
；
∴AB=
AC
cos30°
=4，OA=2；
即：AD=OA=2．
故AD的长为2．
考点梳理
圆周角定理；解直角三角形．
连接OD，由垂径定理，易知OD⊥AC，可得∠AOD=60°，即△AOD是等边三角形，因此只需求出AO即⊙O的半径即可．在Rt△ABC中，已知了∠CAB的度数以及AC的长，易求得AB的值，由此得解．
此题主要考查圆周角定理、垂径定理以及解直角三角形的应用．能够根据已知条件发现△OAD是等边三角形，是解答此题的关键．
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