试题

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF是⊙O的直径，与BC交于点H，且AB=AC，点D是弧BC上的一点，连接AD、BD，且AD与BC相交于点E．
（1）求证：∠ABC=∠D；
（2）求证：AC²=AE·AD；
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D；

（2）证明：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB（公共角），
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AE·AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AE·AD；

（3）解：连接OB，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AH⊥BC，BH=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AH=

AB2-BH2

=4，
设OA=x，则OH=4-x，
在Rt△OBH中，OB²=OH²+BH²，
即：x²=（4-x）²+9，
解得：x=

25

8

．
∴⊙O的半径为：

25

8

．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D；

（2）证明：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB（公共角），
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AE·AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AE·AD；

（3）解：连接OB，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AH⊥BC，BH=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AH=

AB2-BH2

=4，
设OA=x，则OH=4-x，
在Rt△OBH中，OB²=OH²+BH²，
即：x²=（4-x）²+9，
解得：x=

25

8

．
∴⊙O的半径为：

25

8

．