试题

题目：
青果学院如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．
求弦AD，CD的长及
CE
DE
的值．
答案
解：连接BD、OD，作CG⊥AB于G点，如图，青果学院
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
∴BC=
AB2-BC2
=8（cm），
∵
1
2
·CG·AB=
1
2
AC·BC，
∴CG=
AC·BC
AB
=
6×8
10
=
24
5
，
∵∠ACB的平分线交AB于E，
∴∠DCA=∠DCB，
∴DA=DB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=
2
2
AB=5
2
（cm）；
∴OD⊥AB，OD=5cm，
∵CG∥OD，
∴△ECG∽△EDO，
∴
GE
OE
=
CE
DE
=
CG
OD
=
24
5
5
=
24
25
，
在△ACG中，AG=
AC2-CG2
=
18
5
，
∴OG=OA-AG=5-
18
5
=
7
5
，
∵GE=
24
25
OE，
∴
24
25
OE+OE=
7
5
，解得OE=
5
7
，
∴GE=
24
25
×
5
7
=
24
35
，
在Rt△CGE中，CE=
CG2+GE2
=
(
24
5
)2+(
24
35
)2
=
24
2
7
，
在Rt△DOE中，DE=
OE2+OD2
=
(
5
7
)2+52
=
25
2
7
，
∴CD=CE+DE=
24
2
7
+
25
2
7
=7
2
（cm），
∴弦AD的长5
2
cm，CD的长为7
2
cm，
CE
DE
的值为
24
25
．
解：连接BD、OD，作CG⊥AB于G点，如图，青果学院
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
∴BC=
AB2-BC2
=8（cm），
∵
1
2
·CG·AB=
1
2
AC·BC，
∴CG=
AC·BC
AB
=
6×8
10
=
24
5
，
∵∠ACB的平分线交AB于E，
∴∠DCA=∠DCB，
∴DA=DB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=
2
2
AB=5
2
（cm）；
∴OD⊥AB，OD=5cm，
∵CG∥OD，
∴△ECG∽△EDO，
∴
GE
OE
=
CE
DE
=
CG
OD
=
24
5
5
=
24
25
，
在△ACG中，AG=
AC2-CG2
=
18
5
，
∴OG=OA-AG=5-
18
5
=
7
5
，
∵GE=
24
25
OE，
∴
24
25
OE+OE=
7
5
，解得OE=
5
7
，
∴GE=
24
25
×
5
7
=
24
35
，
在Rt△CGE中，CE=
CG2+GE2
=
(
24
5
)2+(
24
35
)2
=
24
2
7
，
在Rt△DOE中，DE=
OE2+OD2
=
(
5
7
)2+52
=
25
2
7
，
∴CD=CE+DE=
24
2
7
+
25
2
7
=7
2
（cm），
∴弦AD的长5
2
cm，CD的长为7
2
cm，
CE
DE
的值为
24
25
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
连接BD、OD，作CG⊥AB于G点，根据圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理计算出BC=8，利用三角形面积公式计算出CG=
24
5
，由∠DCA=∠DCB得到DA=DB，可判断△ABD为等腰直角三角形，则AD=
2
2
AB=5
2
；然后利用CG∥OD得到△ECG∽△EDO，所以
GE
OE
=
CE
DE
=
CG
OD
=
24
25
，在△ACG中，根据勾股定理计算出AG=
18
5
，则OG=OA-AG=
7
5
，于是可分别计算出OE=
5
7
，GE=
24
35
，再根据勾股定理计算CE=
24
2
7
，DE=
25
2
7
，然后利用CD=CE+DE计算．
本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；三角形相似的对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理和圆周角定理．
计算题．
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