试题

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点．C、D在直径AB的两侧．
（1）求证：CA²+BC²=2BD²；
（2）若∠AOC=60°，求证：以线段CA、CB与BD的长为边的三角形是直角三角形．

证明：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵

AD

=

BD

，∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2BD²，
∴AC²+BC²=2BD²；
（2）∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠AOC=30°，
在Rt△ABC中，AB=2AC，
∴BC²=AB²-AC²=4AC²-AC²=3AC²，
由（1）得AC²+BC²=2BD²，
∴BD²=2AC²，
∴CA²+BD²=3AC²，
∴CA²+BD²=BC²，
则以线段CA、CB与BD的长为边的三角形是直角三角形．
证明：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵

AD

=

BD

，∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2BD²，
∴AC²+BC²=2BD²；
（2）∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠AOC=30°，
在Rt△ABC中，AB=2AC，
∴BC²=AB²-AC²=4AC²-AC²=3AC²，
由（1）得AC²+BC²=2BD²，
∴BD²=2AC²，
∴CA²+BD²=3AC²，
∴CA²+BD²=BC²，
则以线段CA、CB与BD的长为边的三角形是直角三角形．