试题

题目：
青果学院如图，OA、OC是⊙O的半径，OA=1，且OC⊥OA，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，在OC求一点P，使PA+PD最小，并求这个最小值．
答案
青果学院解：延长AO交⊙O于B，连接BD交OC于点P，
则点P为所求，（2分）
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵OC⊥OA，弧AD=2弧CD，
∴∠ABD=30°，（5分）
∵OA=1，
∴AB=2，
∴BD=cos30°×AB=
3
，（6分）
即PA+PD最小值为
3
．
青果学院解：延长AO交⊙O于B，连接BD交OC于点P，
则点P为所求，（2分）
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵OC⊥OA，弧AD=2弧CD，
∴∠ABD=30°，（5分）
∵OA=1，
∴AB=2，
∴BD=cos30°×AB=
3
，（6分）
即PA+PD最小值为
3
．
考点梳理
圆周角定理；轴对称-最短路线问题；特殊角的三角函数值．
延长AO交⊙O于B，连接BD交OC于点P，则点P为所求．先找到点A的对称点，连接BD与OC的交点就是所求的点P．由于OA⊥OC，AB是直径，所以OC是AB的垂直平分线，故有PA=PB，那么求PA+PD就是求BD的长，在Rt△ABD中，利用三角函数值可求BD，即PA+PD的值．
本题利用了直径所对的圆周角等于90°、同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、三角函数值．
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