试题

题目：
青果学院如图，已知⊙O中，弦BC=8，A是
BAC
的中点，弦AD与BC交于点E，AE=5
3
，ED=
3
3
，M为
BDC
上的动点，（不与B、C重合），AM交BC于N．
（1）求证：AB2=AE·AD；
（2）当M在
BDC
上运动时，问AN·AM、AN·NM中有没有值保持不变的？若有的话，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值；
（3）若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于G，当AG=8时，求sin∠AFB的值．
答案
（1）证明：连接BD，
∵
AB
=
AC
，青果学院
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴
AB
AE
=
AD
AB
．
∴AB2=AE·AD．

（2）解：连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，
则
AB
AM
=
AN
AB
，
∴AN·AM=AB2．
∴AN·AM=AE·AD=5
3
(
3
3
+5
3
)=80，青果学院
即AN·AM为定值，设BN=x，则CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN·NM=BN·CN=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，（8分）
故当BN=x=4时，AN·NM有最大值为16．

（3）解：过点A作直径AH交BC于K，连接GH，
∵A是
BAC
的中点，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK2=AB2-BK2=80-16=64．青果学院
∴AK=8．
又由AK·KH=BK·KC得：KH=
4×4
8
=2．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH=
AG
AH
=
8
10
=
4
5
．
（1）证明：连接BD，
∵
AB
=
AC
，青果学院
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴
AB
AE
=
AD
AB
．
∴AB2=AE·AD．

（2）解：连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，
则
AB
AM
=
AN
AB
，
∴AN·AM=AB2．
∴AN·AM=AE·AD=5
3
(
3
3
+5
3
)=80，青果学院
即AN·AM为定值，设BN=x，则CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN·NM=BN·CN=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，（8分）
故当BN=x=4时，AN·NM有最大值为16．

（3）解：过点A作直径AH交BC于K，连接GH，
∵A是
BAC
的中点，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK2=AB2-BK2=80-16=64．青果学院
∴AK=8．
又由AK·KH=BK·KC得：KH=
4×4
8
=2．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH=
AG
AH
=
8
10
=
4
5
．
考点梳理
圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）连接BD，由等弧对等角得∠ABC=∠ABD，故可得△ABE∽△ADB，有
AB
AE
=
AD
AB
即AB2=AE·AD；
（2）连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，则有
AB
AM
=
AN
AB
即AN·AM=AB2，而AB2=AE·AD，所以AN·AM=AE·AD为定值．由相交弦定理知AN·NM=BN·CN=BN（8-BN）=-（BN-4）2+16，故由二次函数的性质知，AN·NM有最大值为16；
（3）作直径AH交BC于K，连接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK·KH=BK·KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，从而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．
本题利用了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，二次函数的性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，正弦的概念求解．
动点型．
找相似题