试题

题目：
青果学院如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．
求证：（1）
QD
ED
=
AC
EC
；（2）
CP
PE
=
AC2
CE2
．
答案
青果学院证明：（1）连AE，
∵AB=CD=EF，
∴弧AB=弧CD=弧EF，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，
又∵∠QDE=∠ACE，
∴△QDE∽△ACE，
∴
QD
ED
=
AC
EC
；

（2）∵弧CD=弧EF，
∴DE∥CF，
∴
CP
PE
=
QC
DE
，∠CQD=∠QDE，
∵∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，
而DC弧=AB弧，
∴∠QED=∠ADC，
∴△QDC∽△DEQ，
∴
QC
DQ
=
DQ
DE
，即QC=
DQ2
DE
，
∴
CP
PE
=
QC
DE
=
DQ2
DE2
，
由（1）的结论
QD
ED
=
AC
EC
得，
CP
PE
=
QC
DE
=
DQ2
DE2
=
AC 2
EC2
．
青果学院证明：（1）连AE，
∵AB=CD=EF，
∴弧AB=弧CD=弧EF，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，
又∵∠QDE=∠ACE，
∴△QDE∽△ACE，
∴
QD
ED
=
AC
EC
；

（2）∵弧CD=弧EF，
∴DE∥CF，
∴
CP
PE
=
QC
DE
，∠CQD=∠QDE，
∵∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，
而DC弧=AB弧，
∴∠QED=∠ADC，
∴△QDC∽△DEQ，
∴
QC
DQ
=
DQ
DE
，即QC=
DQ2
DE
，
∴
CP
PE
=
QC
DE
=
DQ2
DE2
，
由（1）的结论
QD
ED
=
AC
EC
得，
CP
PE
=
QC
DE
=
DQ2
DE2
=
AC 2
EC2
．
考点梳理
圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）由AB=CD=EF，根据考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到弧AB=弧CD=弧EF，得∠AEB=∠CED，得到∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，则△QDE∽△ACE，即有
QD
ED
=
AC
EC
；
（2）由弧CD=弧EF，得到DE∥CF，则
CP
PE
=
QC
DE
，∠CQD=∠QDE，而∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，所以∠QED=∠ADC，证得△QCD∽△DEQ，于是有
QC
DQ
=
DQ
DE
，即QC=
DQ2
DE
，得到
CP
PE
=
QC
DE
=
DQ2
DE2
，再利用（1）的结论即可得到
CP
PE
=
AC2
CE2
．
本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形相似的判定与性质．
证明题．
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