试题

题目：
如图所示，半圆的半径为AB，C为半圆周上一点．青果学院
（1）若∠CAB=30°，BC=6，求图中阴影部分的面积；
（2）若AB=2R，则C运动到何处时，阴影部分的面积最小，最小面积是多少？
答案
解：（1）∵∠CAB=30°，BC=6
∴AB=12
∴S半圆=π×36÷2=18π
∵∠CAB=30°，BC=6
∴AC=
122-62
=6
3

∴S△ABC=6
3
×6×
1
2
=18
3

∴S阴影=S半圆-S△ABC=18π-18
3
；

（2）阴影部分的面积最小，则直角三角形的面积最大，
即斜边上的高最大，
∴当CA=CB时，S最小值=
1
2
πR2-R2．
解：（1）∵∠CAB=30°，BC=6
∴AB=12
∴S半圆=π×36÷2=18π
∵∠CAB=30°，BC=6
∴AC=
122-62
=6
3

∴S△ABC=6
3
×6×
1
2
=18
3

∴S阴影=S半圆-S△ABC=18π-18
3
；

（2）阴影部分的面积最小，则直角三角形的面积最大，
即斜边上的高最大，
∴当CA=CB时，S最小值=
1
2
πR2-R2．
考点梳理
扇形面积的计算；圆周角定理．
（1）阴影部分的面积即是半圆的面积-直角三角形的面积；
（2）要使阴影部分的面积最小，则需直角三角形的面积最大，即斜边上的高最大，显然是到弧的中点时即可．
注意：熟练运用锐角三角函数解直角三角形，求得各边的长，根据直角三角形和圆的面积公式进行计算．讨论面积的最值注意进行转换为容易分析的图形的面积．
动点型．
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