试题

题目：
青果学院如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
（1）求证：
PA
=
PB
；
（2）求证：AC-BC=
2
PC．
答案
青果学院证明：（1）连结PA、PB，如图，
∵弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=45°，
∴
PA
=
PB
；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，如图，
则△PDC为等腰直角三角形，
∴DC=
2
PC，
∵
PA
=
PB
，
∴PA=PB，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDA=135°，
而∠PCB=∠PCA+∠ACB=135°，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PAD=∠PBC，
∴△PDA≌△PCB，
∴AD=BC，
∴AC-BC=AC-AD=DC=
2
PC．
青果学院证明：（1）连结PA、PB，如图，
∵弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=45°，
∴
PA
=
PB
；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，如图，
则△PDC为等腰直角三角形，
∴DC=
2
PC，
∵
PA
=
PB
，
∴PA=PB，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDA=135°，
而∠PCB=∠PCA+∠ACB=135°，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PAD=∠PBC，
∴△PDA≌△PCB，
∴AD=BC，
∴AC-BC=AC-AD=DC=
2
PC．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
（1）连结PA、PB，CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°得到∠ACP=45°，AB为⊙O的直径，则∠PAB=45°，根据圆周角定理得
PA
=
PB
；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，则DC=
2
PC，再证明△PDA≌△PCB，得到AD=BC，所以AC-BC=AC-AD=DC=
2
PC．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的判定与性质．
证明题．
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