试题

如图，已知点O是锐角三角形ABC的外心，过A、B、O三点的圆交AC、BC于E、F，且EF=OC，
（1）求证：OC⊥EF；
（2）求：∠AOB的度数．

（1）证明：如图，连接OA，OB，AF，BE，
∵点O是锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OB=OC，又EF=OC，
∴OA=OB=EF，
∴

AEO

=

EOF

=

BFO

，
∴

AE

=

OF

，

EO

=

BF

∴∠1=∠3=∠7=∠5，∠2=∠8=∠4=∠6
而∠ACB+∠BAC+∠CBA=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=4（∠1+∠2）=180°
所以∠1+∠2=45°．
又∠CEF=∠ABC=∠6+∠7+∠8=∠1+2∠2
即∠1+∠CEF=2（∠1+∠2）=90°，
所以OC⊥EF；

（2）解：∠AOB=2（∠1+∠2）=2×45°=90°．
（1）证明：如图，连接OA，OB，AF，BE，
∵点O是锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OB=OC，又EF=OC，
∴OA=OB=EF，
∴

AEO

=

EOF

=

BFO

，
∴

AE

=

OF

，

EO

=

BF

∴∠1=∠3=∠7=∠5，∠2=∠8=∠4=∠6
而∠ACB+∠BAC+∠CBA=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=4（∠1+∠2）=180°
所以∠1+∠2=45°．
又∠CEF=∠ABC=∠6+∠7+∠8=∠1+2∠2
即∠1+∠CEF=2（∠1+∠2）=90°，
所以OC⊥EF；

（2）解：∠AOB=2（∠1+∠2）=2×45°=90°．