试题

（2013·荆门模拟）如图，已知点A（8，0），sin∠ABO=

4

5

，抛物线经过点O、A，且顶点在△AOB的外接圆上，则此抛物线的解析式为（　　）
A．y=-

1

2

x2+4x
B．y=-

1

8

x2+x
C．y=

1

2

x2-4x或y=-

1

8

x2+x
D．y=-

1

2

x2+4x或y=

1

8

x2-x

D
解：如图所示：连接AC，过圆心O′作EF⊥OA，
∵∠AOC=90°，∠ABO=∠OCA，
∴

AO

AC

=

4

5

，
∵点A（8，0），
∴AC=10，
根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴MF=2，
∴F点坐标为：（4，-2），
设过O，A，F的抛物线解析式为：y=a（x-4）²-2，
将A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²-2，
解得：a=

1

8

，
∴此时抛物线解析式为：y=

1

8

（x-4）²-2=

1

8

x²-x，
根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴ME=8，
∴E点坐标为：（4，8），
设过O，A，E的抛物线解析式为：y=a（x-4）²+8，
将A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²+8，
解得：a=-

1

2

，
∴此时抛物线解析式为：y=-

1

2

（x-4）²+8=-

1

2

x²+x，
故选：D．