试题

如图，半径为2

5

的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

解：（1）连接AD，BC，
∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴

AP

CP

=

PD

PB

，
∴PA·PB=PC·PD；

（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
由垂径定理得：OM²=（2

5

）²-4²=4，ON²=（2

5

）²-3²=11，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∴OP=

OM2+ON2

=

15

．
解：（1）连接AD，BC，
∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴

AP

CP

=

PD

PB

，
∴PA·PB=PC·PD；

（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
由垂径定理得：OM²=（2

5

）²-4²=4，ON²=（2

5

）²-3²=11，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∴OP=

OM2+ON2

=

15

．