试题

题目：
青果学院（2013·杨浦区二模）已知△ABC中，∠B=45°，AB=4
2
，tanC=2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且
AD
=
AC
，求CD的长．
答案
青果学院解：如图，连接AC，延长AO交BC于点E．
∵
AD
=
AC
，
∴AD=AC，
∵点O是等腰△ACD的外心，
∴AE⊥CD，且CD=2CE．
∴在直角△ABE中，∠B=45°，AB=4
2
，则AE=4．
∵tanC=2，
∴
AE
CE
=2，即AE=2CE，
∴CD=AE=4，即线段CD的长度是4．
青果学院解：如图，连接AC，延长AO交BC于点E．
∵
AD
=
AC
，
∴AD=AC，
∵点O是等腰△ACD的外心，
∴AE⊥CD，且CD=2CE．
∴在直角△ABE中，∠B=45°，AB=4
2
，则AE=4．
∵tanC=2，
∴
AE
CE
=2，即AE=2CE，
∴CD=AE=4，即线段CD的长度是4．
考点梳理
圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．
如图，连接AC，延长AO交BC于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线．在直角△AEC中根据勾股定理求得线段CE的长度，进而根据垂径定理来求线段CD的长度．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形以及圆心角、弧、弦间的关系．注意解题过程中要证明一下AE是线段CD的中垂线．
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