试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求AC和AB的长．（结果保留二次根式）
答案
解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，
∴在△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=60°
∴AC=2CD；
在△BDC中，∠BDC=90°，∠BCD=∠DBC=45°
∴CD=BD
由勾股定理可得，BD2+CD2=4
∴CD=BD=
2
，
∴AC=2
2
cm；
在△ADC中，
AD=AC·sin60°=2
2
·
3
2
=
6
，
∴AB=AD+BD=（
6
+
2
）cm．
解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，
∴在△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=60°
∴AC=2CD；
在△BDC中，∠BDC=90°，∠BCD=∠DBC=45°
∴CD=BD
由勾股定理可得，BD2+CD2=4
∴CD=BD=
2
，
∴AC=2
2
cm；
在△ADC中，
AD=AC·sin60°=2
2
·
3
2
=
6
，
∴AB=AD+BD=（
6
+
2
）cm．
考点梳理
二次根式的应用；等边三角形的性质．
由已知可得，△ADC和△BDC都是特殊的直角三角形，可用勾股定理、特殊角的三角函数值等知识来求解．
此题综合性较强，涉及到特殊的直角三角形边之间的关系、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点．
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