试题

题目：
青果学院如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为
2
cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α为（　　）



答案
A
青果学院解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB=
2
，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
故选：A．
考点梳理
圆心角、弧、弦的关系．
根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．
本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．
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