试题

题目：
观察下列计算结果：
1
1+
2
=-1+
2
，
1
2
+
3
=-
2
+
3
，
1
3
+
4
=-
3
+
4
，…，
1
2012
+
2013
=-
2012
+
2013
．
（1）写出
1
1+
2
=-1+
2
的化简过程；
（2）从上面的式子中，你发现了什么规律？你能解释这一规律吗？
（3）利用上面的规律计算：
(
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
2012
+
2013
)(1+
2013)
．
答案
解：（1）
1
1+
2
=
1-
2
(1+
2
)(1-
2
)

=-（1-
2
）
=-1+
2
；

（2）规律为：
1
n
+
n+1
=-
n
+
n+1
，分母有理化得到结果；

（3）原式=（-1+
2
-
2
+
3
+…-
2012
+
2013
）（1+
2013
）
=（-1+
2013
）（1+
2013
）
=2013-1
=2012．
解：（1）
1
1+
2
=
1-
2
(1+
2
)(1-
2
)

=-（1-
2
）
=-1+
2
；

（2）规律为：
1
n
+
n+1
=-
n
+
n+1
，分母有理化得到结果；

（3）原式=（-1+
2
-
2
+
3
+…-
2012
+
2013
）（1+
2013
）
=（-1+
2013
）（1+
2013
）
=2013-1
=2012．
考点梳理
分母有理化．
（1）原式分子分母乘以1-
2
，化简即可得到结果；
（2）得到规律为：
1
n
+
n+1
=-
n
+
n+1
，分母有理化得到结果；
（3）原式利用规律变形，计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
计算题．
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