试题

（2010·漳州）如图，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）填空：A（，）、B（，）、C（，）；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）直线y=-3x-3中，
x=0，则y=-3；y=0，则x=-1；
∴A（-1，0），B（0，-3）；
根据旋转的性质知：OC=OB=3，即C（3，0）；
∴A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）；（3分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过B点，∴c=-3；
又∵抛物线经过A，C两点，
∴

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，解得

a=1 b=-2

；（5分）
∴y=x²-2x-3；（6分）

（3）过点E作EF⊥y轴垂足为点F；
由（2）得y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴E（1，-4）．
∵tan∠EDF=

1

3

，tan∠DCO=

1

3

；
∴∠EDF=∠DCO（7分）
∵∠DCO+∠ODC=90°，
∴∠EDF+∠ODC=90°；
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DOC；（8分）
①当

OC

CD

=

OD

DP

时，△ODC∽△DPC，
则

3

10

=

1

DP

，
∴DP=

10

3

（9分）
过点P作PG⊥y轴，垂足为点G；
∵tan∠EDF=

1

3

=

PG

DG

，
∴设PG=x，则DG=3x
在Rt△DGP中，DG²+PG²=DP²．
∴9x²+x²=

10

9

，
∴x₁=

1

3

，x₂=-

1

3

（不合题意，舍去）（10分）
又∵OG=DO+DG=1+1=2，
∴P（

1

3

，-2）；（11分）
②当

OC

DP

=

OD

CD

时，△ODC∽△DCP，则

3

DP

=

1

10

，
∴DP=3

10

；
∵DE=

1+32

=

10

，
∴DP=3

10

（不合题意，舍去）（13分）
综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，此时点P的坐标为P（

1

3

，-2）．（14分）