试题

如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
答：抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，
由y=x²-2x-3，
令x=2，则y=-3，
∴点G为（2，-3），
设直线AG为y=kx+n（k≠0），
∴

-k+n=0 2k+n=-3

，
解得

k=-1 n=-1

，
即直线AG为y=-x-1，S_三角形APG
设P（x，x²-2x-3），则F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，
∵S_三角形APG=S_三角形APF+S_三角形GPF
=

1

2

·（-x²+x+2）·（x+1）+

1

2

·（-x²+x+2）·（2-x）
=-

3

2

x²+

3

2

x+3，
∴当x=

1

2

时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为(

1

2

，-

15

4

)，S△APG的最大值为

27

8

，
答：当点P运动到（

1

2

，-

15

4

）位置时，△APG的面积最大，此时P点的坐标是（

1

2

，-

15

4

），△APG的最大面积是

27

8

．

（3）存在．
∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，
∴M、N关于直线x=1对称，
设点M为（m，m²-2m-3）且m＞1，
∴MN=2（m-1），
当∠QMN=90°，且MN=MQ时，
△MNQ为等腰直角三角形，
∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，
∴2（m-1）=|m²-2m-3|，
即2（m-1）=m²-2m-3或2（m-1）=-（m²-2m-3），
解得m1=2+

5

，m2=2-

5

（舍）或m1=

5

，m2=-

5

（舍），
∴点M为（2+

5

，2+2

5

）或（

5

，2-2

5

），
∴点Q为（2+

5

，0）或（

5

，0），
当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
同理可求点Q为（-

5

，0）或（2-

5

，0），
当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
过Q作QE⊥MN于点E，则QE=

1

2

MN=

1

2

×2(m-1)=|m2-2m-3|，
∵方程有解
∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，
知点Q为（1，0），
综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（-

5

，0）或（

5

，0）或
（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0），
答：存在，点Q的坐标分别为（-

5

，0）或（

5

，0）或（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0）．
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
答：抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，
由y=x²-2x-3，
令x=2，则y=-3，
∴点G为（2，-3），
设直线AG为y=kx+n（k≠0），
∴

-k+n=0 2k+n=-3

，
解得

k=-1 n=-1

，
即直线AG为y=-x-1，S_三角形APG
设P（x，x²-2x-3），则F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，
∵S_三角形APG=S_三角形APF+S_三角形GPF
=

1

2

·（-x²+x+2）·（x+1）+

1

2

·（-x²+x+2）·（2-x）
=-

3

2

x²+

3

2

x+3，
∴当x=

1

2

时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为(

1

2

，-

15

4

)，S△APG的最大值为

27

8

，
答：当点P运动到（

1

2

，-

15

4

）位置时，△APG的面积最大，此时P点的坐标是（

1

2

，-

15

4

），△APG的最大面积是

27

8

．

（3）存在．
∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，
∴M、N关于直线x=1对称，
设点M为（m，m²-2m-3）且m＞1，
∴MN=2（m-1），
当∠QMN=90°，且MN=MQ时，
△MNQ为等腰直角三角形，
∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，
∴2（m-1）=|m²-2m-3|，
即2（m-1）=m²-2m-3或2（m-1）=-（m²-2m-3），
解得m1=2+

5

，m2=2-

5

（舍）或m1=

5

，m2=-

5

（舍），
∴点M为（2+

5

，2+2

5

）或（

5

，2-2

5

），
∴点Q为（2+

5

，0）或（

5

，0），
当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
同理可求点Q为（-

5

，0）或（2-

5

，0），
当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
过Q作QE⊥MN于点E，则QE=

1

2

MN=

1

2

×2(m-1)=|m2-2m-3|，
∵方程有解
∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，
知点Q为（1，0），
综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（-

5

，0）或（

5

，0）或
（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0），
答：存在，点Q的坐标分别为（-

5

，0）或（

5

，0）或（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0）．