试题

（2012·沭阳县一模）已知二次函数y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（1，0）两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值．
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

解：（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 1+b+c=0.

解得

b=0 c=-1.

∴二次函数的关系式是y=x²-1，
答：这个二次函数的关系式是y=x²-1．

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得x²-1=x，
即x²-x-1=0，
解得x=

1± 5

2

．
由y=-x，得x²-1=-x，
即x²+x-1=0，
解得x=

-1± 5

2

．
∴⊙P的半径为r=|x|=

5 ±1

2

，
答：半径r的值是为

5 ±1

2

．

（3）设点P坐标为（x，y），
∵⊙P的半径为1，
∴当y=0时，x²-1=0，
解得：x=±1，
即⊙P与y轴相切，
又当x=0时，y=-1，
∴当y＞0或y＜-1时，⊙P与y相离；
当-1≤y＜0时，⊙P与y相交，
答：半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在y＞0或y＜-1范围内取值时，⊙P与y轴相离；在-1≤y＜0范围内取值时，⊙P与y轴相交．
解：（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 1+b+c=0.

解得

b=0 c=-1.

∴二次函数的关系式是y=x²-1，
答：这个二次函数的关系式是y=x²-1．

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得x²-1=x，
即x²-x-1=0，
解得x=

1± 5

2

．
由y=-x，得x²-1=-x，
即x²+x-1=0，
解得x=

-1± 5

2

．
∴⊙P的半径为r=|x|=

5 ±1

2

，
答：半径r的值是为

5 ±1

2

．

（3）设点P坐标为（x，y），
∵⊙P的半径为1，
∴当y=0时，x²-1=0，
解得：x=±1，
即⊙P与y轴相切，
又当x=0时，y=-1，
∴当y＞0或y＜-1时，⊙P与y相离；
当-1≤y＜0时，⊙P与y相交，
答：半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在y＞0或y＜-1范围内取值时，⊙P与y轴相离；在-1≤y＜0范围内取值时，⊙P与y轴相交．