试题

如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABC≌△ADC的理由；
（2）证明：OB=OD；
（3）若点P在直线AC上，试问PB与PD一定相等吗？为什么？

解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，

∠1=∠2 AC=AC ∠3=∠4

，
∴△ABC≌△ADC（ASA）；

（2）证明：∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，
∴在△ABO和△ADO中，

AB=AD ∠1=∠2 AO=AO

，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB=OD；

（3）PB=PD，理由如下：
在AC上取一点P，连接PB，PD，
∵△ABO≌△ADO，OB=OD，
∴∠AOB=∠AOD=90°，即AO⊥BD，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
而点P在AC上，
∴PB=PD．
解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，

∠1=∠2 AC=AC ∠3=∠4

，
∴△ABC≌△ADC（ASA）；

（2）证明：∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，
∴在△ABO和△ADO中，

AB=AD ∠1=∠2 AO=AO

，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB=OD；

（3）PB=PD，理由如下：
在AC上取一点P，连接PB，PD，
∵△ABO≌△ADO，OB=OD，
∴∠AOB=∠AOD=90°，即AO⊥BD，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
而点P在AC上，
∴PB=PD．