试题

在直角△ABC中，锐角C的平分线交对边于E，又交斜边上的高AD于O，过O引OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF．

解：过E点作EK⊥BC，垂足为K，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠EAC=90°，
∴EA⊥AC，
∴EK=EA（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵∠OEA=∠B+

1

2

∠ACB，∠AOE=∠1+

1

2

∠ACB，
∴∠OEA=∠AOE
∴AO=EA=EK
∵OF∥CB，
∴∠EFO=∠B
∵在△AOF和△EKB中

∠AOF=∠EKB ∠B=∠AFO AO=EK

∴△AOF≌△EKB（AAS）
∴AF=EB，
∴AE=BF．
解：过E点作EK⊥BC，垂足为K，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠EAC=90°，
∴EA⊥AC，
∴EK=EA（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵∠OEA=∠B+

1

2

∠ACB，∠AOE=∠1+

1

2

∠ACB，
∴∠OEA=∠AOE
∴AO=EA=EK
∵OF∥CB，
∴∠EFO=∠B
∵在△AOF和△EKB中

∠AOF=∠EKB ∠B=∠AFO AO=EK

∴△AOF≌△EKB（AAS）
∴AF=EB，
∴AE=BF．