试题

如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．
（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；
（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．

解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，
∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，
又∵E、F两点运动时间、速度相等，
∴BE=AF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠ECB=∠FCA．（4分）
所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）

（2）不变化．理由如下：
∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；（8分）

（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD，
所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）
解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，
∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，
又∵E、F两点运动时间、速度相等，
∴BE=AF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠ECB=∠FCA．（4分）
所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）

（2）不变化．理由如下：
∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；（8分）

（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD，
所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）