试题

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．
（1）求证：MP=NP；
（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．

（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中

∠MDP=∠NBP ∠MPD=∠NPB DM=BN

，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=4

2

．
∵MD∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴AD=

2

x．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴

2

x+y+y=4

2

，
∴所求的函数解析式为y=-

2

2

x+2

2

，
定义域为0＜x＜4．
答：y与x之间的函数关系式为y=-

2

2

x+2

2

，它的定义域是0＜x＜4．

（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．
∴x=-

2

2

x+2

2

，
解得x=4

2

-4，
∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为4

2

-4．
答：AM的长为4

2

-4．
（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中

∠MDP=∠NBP ∠MPD=∠NPB DM=BN

，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=4

2

．
∵MD∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴AD=

2

x．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴

2

x+y+y=4

2

，
∴所求的函数解析式为y=-

2

2

x+2

2

，
定义域为0＜x＜4．
答：y与x之间的函数关系式为y=-

2

2

x+2

2

，它的定义域是0＜x＜4．

（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．
∴x=-

2

2

x+2

2

，
解得x=4

2

-4，
∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为4

2

-4．
答：AM的长为4

2

-4．