试题

如图，以△ABC边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，连接AO．
①猜想∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；
②求∠AOD的度数．

①∠AOD=∠AOE，
证明：过A作AG⊥DC于G，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，S_△DAC=S_△BAE，
∴AQ=AN，即点A到BE和DC的距离相等．
∴AO平分∠DOE（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）；

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠AME=∠BMC，∠EAC+∠AEC+∠AME=180°，∠BCM+∠MBC+∠BMC=180°，∠EAC=60°，
∠EOC=∠EAC=60°，
∵由①知∠AOD=∠AOE，
∴∠AOD=

1

2

（180°-60°）=60°．
①∠AOD=∠AOE，
证明：过A作AG⊥DC于G，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，S_△DAC=S_△BAE，
∴AQ=AN，即点A到BE和DC的距离相等．
∴AO平分∠DOE（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）；

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠AME=∠BMC，∠EAC+∠AEC+∠AME=180°，∠BCM+∠MBC+∠BMC=180°，∠EAC=60°，
∠EOC=∠EAC=60°，
∵由①知∠AOD=∠AOE，
∴∠AOD=

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（180°-60°）=60°．