试题

如图，在△ABC的AB、AC边的外侧作等边△ACE和等边△ABF，连接BE、CF相交于点O，
（1）求证：CF=BE；
（2）连AO，则：①AO平分∠BAC；②OA平分∠EOF，你认为正确的是（填①或②）．并证明你的结论．

（1）证明：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠FAC=∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
AB=AF
∠BAE=FAC
AE=AC
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE=FC；

（2）解：连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，
∵△ABE≌△AFC，
∴S_△ABE=S_△AFC，
∴

1

2

AP·CF=

1

2

AQ·BE，
而CF=BE，
∴AP=AQ，
∴OA不一定平分∠MAN，所以①错误；
∵在RT△AOP和RT△AOM中，

AP=AM AO=AO

，
∴RT△AOP≌RT△AOM（HL）
∴∠AOF=∠AOE，所以②正确．
故答案为②．