试题

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O．
（1）设AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）
（2）在你认为恒成立的结论中选一个加以证明．

解：①正确，∵△ABC与△DCE为等边三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
②正确，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
又∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAE=∠CBE，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PC=CQ，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠QCE=60°
∴PQ∥AE．
③正确，
∵△PQC是等边三角形，
∴CQ=CP，
又∵∠ACP=∠BCQ，AC=BC，
∴△APC≌△BQC，
∴AP=BQ．
④错误，∵DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，即DP≠DE．
⑤正确，
∵∠CAP=∠OBP，∠BAC=60°，
∴∠BAP+∠OBP=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠AOB=180°-（∠BAP+∠OBP）-∠BAC=60°．
故填①②③⑤．