试题

如图，D为等边三角形ABC的边BC上的一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接BE．
（1）求证：BE=CD；
（2）分别取BE、CD的中点M、N，连接AM、AN、MN，试判断△AMN的形状，并给出证明．

（1）证明：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AC=AB，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAE=∠DAC∴△AEB≌△ACD．
∴BE=CD．

（2）△AMN是等边三角形．
证明：∵∠C=∠ABE，
∵M，N是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
而AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN．
而∠BAC=∠BAN+∠NAC=60°，
∴∠BAN+∠BAM=60°=∠MAN．
∴△AMN是等边三角形．
（1）证明：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AC=AB，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAE=∠DAC∴△AEB≌△ACD．
∴BE=CD．

（2）△AMN是等边三角形．
证明：∵∠C=∠ABE，
∵M，N是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
而AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN．
而∠BAC=∠BAN+∠NAC=60°，
∴∠BAN+∠BAM=60°=∠MAN．
∴△AMN是等边三角形．